Question

8．定義一種新運算：a?b=$\left\{\begin{array}{l}{b，a≥b}\\{a，a＜b}\end{array}\right.$，已知函數(shù)f（x）=（1+$\frac{4}{x}$）?log₂x，若函數(shù)g（x）=f（x）-k恰有兩個零點，則k的取值范圍為（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，4）
• C． （2，4）
• D． （4，8）

Answer 1

分析 根據(jù)新運算的定義求出函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解設(shè)y=1+$\frac{4}{x}$，y=log₂x，
則y=1+$\frac{4}{x}$在（0，+∞）上為減函數(shù)，y=log₂x在（0，+∞）上為增函數(shù)，
當x=4時，y=1+$\frac{4}{x}$=1+$\frac{4}{4}$=1+1=2，y=log₂4=2，此時兩個函數(shù)值相等，
當0＜x≤4時，log₂x≤1+$\frac{4}{x}$，此時f（x）=log₂x∈（-∞，2]，
當x＞4時，log₂x＞1+$\frac{4}{x}$，此時f（x）=1+$\frac{4}{x}$∈（1，2），
即f（x）=（1+$\frac{4}{x}$）?log₂x=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，}&{0＜x≤4}\\{1+\frac{4}{x}，}&{x＞4}\end{array}\right.$．
若函數(shù)g（x）=f（x）-k恰有兩個零點，
則g（x）=f（x）-k=0，即f（x）=k，恰有兩個根，
作出函數(shù)f（x）與y=k的圖象，
由圖象知若兩個圖象有兩個不同的交點，
則1＜k＜2，
故實數(shù)k的取值范圍是（1，2），
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的解析式，以及利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，借助數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性考查函數(shù)的性質(zhì)．