Question

18．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意n≥2，均有3S_n-4、a_n、2-$\frac{3{S}_{n-1}-1}{2}$成等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{0，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=3S_n-3（n≥2）．從而得到a₂=0，2a_n+1=-a_n，n≥2，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，
對(duì)任意n≥2，均有3S_n-4、a_n、2-$\frac{3{S}_{n-1}-1}{2}$成等差數(shù)列，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=3S_n-4+2-$\frac{3}{2}$S_n-1+$\frac{1}{2}$，∴a_n=3S_n-3（n≥2）．
∴a₂=3（1+a₂）-3，解得a₂=0，
∵a_n=3S_n-3（n≥2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{S}_{n}={a}_{n}+3}\\{3{S}_{n+1}={a}_{n+1}+3}\end{array}\right.$，∴3a_n+1=a_n+1-a_n，
∴2a_n+1=-a_n，n≥2，
∵a₂=0，∴a_n=0，n≥2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{0，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{0，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．