【題目】設函數(shù)f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方

程為y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，

并求出此定值．

【答案】(1) f(x)＝x＋；(2)證明見解析

【解析】

(1)解　f′(x)＝a－，

解得或

因為a，b∈Z，故f(x)＝x＋.

(2)在曲線上任取一點，由f′(x0)＝1－知，過此點的切線

方程為y－＝[1－] (x－x0)．

令x＝1，得y＝， 切線與直線x＝1的交點為 (1,)；

令y＝x，得y＝2x0－1，切線與直線y＝x的交點為(2x0－1,2x0－1)；

直線x＝1與直線y＝x的交點為(1,1)，從而所圍三角形的面積為

|2x0－1－1|＝2.

所以，所圍三角形的面積為定值2.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù)， .

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】到2020年，我國將全面建立起新的高考制度，新高考采用模式，其中語文、數(shù)學、英語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣、愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門（6選3）參加考試，滿分各100分.為了順利迎接新高考改革，某學校采用分層抽樣的方法從高一年級1000名（其中男生550名，女生450名）學生中抽取了名學生進行調(diào)查.

（1）已知抽取的名學生中有女生45名，求的值及抽取的男生的人數(shù).

（2）該校計劃在高一上學期開設選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了解學生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學生進行問卷調(diào)查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目，且只能選擇一個科目），得到如下列聯(lián)表.

選擇“物理”

選擇“地理”

總計

男生

10

女生

25

總計

（i）請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有以上的把握認為選擇科目與性別有關(guān)系.

（ii）在抽取的選擇“地理”的學生中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名學生中抽取2名，求這2名中至少有1名男生的概率.

附：，其中.

0.05

0.01

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：

周一

無雨

無雨

有雨

有雨

周二

無雨

有雨

無雨

有雨

收益

萬元

萬元

萬元

萬元

若基地額外聘請工人，可在周一當天完成全部采摘任務.無雨時收益為萬元；有雨時，收益為萬元.額外聘請工人的成本為萬元.

已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為萬元的概率為.

（Ⅰ）若不額外聘請工人，寫出基地收益的分布列及基地的預期收益；

（Ⅱ）該基地是否應該外聘工人，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設遞增數(shù)列共有項，定義集合，將集合中的數(shù)按從小到大排列得到數(shù)列；

（1）若數(shù)列共有4項，分別為，，，，寫出數(shù)列的各項的值；

（2）設是公比為2的等比數(shù)列，且，若數(shù)列的所有項的和為4088，求和的值；

（3）若，求證：為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列恰有7項；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，已知對任意，都有，且成立.令，其中為常數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的所有零點；

（2）當時，求函數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設，當對任意的恒成立時，求函數(shù)的最大值的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出如下四個命題：

①“”是“”的充分而不必要條件；

②命題“若，則函數(shù)有一個零點”的逆命題為真命題；

③若是的必要條件，則是的充分條件；

④在中，“”是“”的既不充分也不必要條件．

其中正確的命題的個數(shù)是（ ）

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)的定義域為，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在

上是單調(diào)函數(shù)；②在 上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù) 的“和諧區(qū)間”，

下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A.函數(shù) 存在 “和諧區(qū)間”

B.函數(shù) 存在 “和諧區(qū)間”

C.函數(shù) 不存在 “和諧區(qū)間”

D.函數(shù) 存在 “和諧區(qū)間”

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