Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數(shù)．
（1）當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的有極值點(diǎn)，求b的取值范圍及f（x）的極值點(diǎn)；
（3）若b=-1，試?yán)�用�?）求證：n≥3時(shí)，恒有

1

n2

＜ln（n+1）-lnn＜

1

n

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)致，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可證明不等式．

解答： 解：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

，（x＞0）
∴當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增． 
（2）①由（1）得，當(dāng)b≥

1

2

時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）無(wú)極值點(diǎn)．
②當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，f′（x）=0有兩個(gè)不同解，x₁=

1

2

-

1-2b

2

，x₂═

1

2

+

1-2b

2

，
∴（i）b≤0時(shí)，x₁=

1

2

-

1-2b

2

≤0∉（0，+∞）舍去，x₂=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈（0，+∞）
此時(shí)f′（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如下表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

由此表可知：當(dāng)b≤0時(shí)，f（x）有唯一極小值點(diǎn)，x=

1

2

+

1-2b

2

，
（ii）當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，0＜x₁＜x₂＜1 此時(shí)，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值x₂=

1

2

-

1-2b

2

=和一個(gè)極小值點(diǎn)x₂=

1

2

+

1-2b

2

；
綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，f（x）有極值點(diǎn)；
當(dāng)b≤0時(shí)，f（x）有唯一最小值點(diǎn)x=

1

2

+

1-2b

2

；
當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)x=

1

2

-

1-2b

2

和一個(gè)極小值點(diǎn)x=

1

2

+

1-2b

2

．
（3）由（2）可知當(dāng)b=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-1）²-lnx，
此時(shí)f（x）有惟一極小值點(diǎn)x=

1

2

+

1-2b

2

=

1+ 3

2

；
 且x∈（0，

1+ 3

2

）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，

1+ 3

2

）為減函數(shù)，
∵當(dāng)n≥3時(shí)，0＜1＜1+

1

n

≤

4

3

＜

1+ 3

2

，
∴恒有f（1）＞f（1+

1

n

），即恒有0＞

1

n2

-ln（1+

1

n

），
∴當(dāng)n≥3時(shí)，恒有l(wèi)n（n+1）-lnn＞

1

n2

成立，
令函數(shù)h（x）=（x-1）-lnx（x＞0），
則h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
∴x＞1時(shí)，h′（x）＞0，
又h（x）在x=1處連續(xù)，
∴x∈[1，+∞）時(shí)，h（x）為增函數(shù)．
∵n≥3時(shí)，1＜1+

1

n

∴h（1+

1

n

）＞h（1），
即

1

n

-ln（1+

1

n

）＞0，
∴l(xiāng)n（n+1）-lnn

1

n

=ln（1+

1

n

）＜

1

n

，
綜上述可知n≥3時(shí)，恒有

1

n2

＜ln（n+1）-lnn＜

1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和含有字母參數(shù)的函數(shù)極值的討論，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，屬于難題．