已知向量
a
=（cos
3x
2
，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[
π
2
，
3π
2
]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）求函數(shù)f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|的最小值．
考點：兩角和與差的余弦函數(shù),向量的模,平面向量數(shù)量積的運算
專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式，化簡函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)向量的模的定義求出|
a
+
b
|的值．
（2）由f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|=2（cosx+
1
2
）2-
3
2
，結(jié)合x∈[
π
2
，
3π
2
]，即-1≤cosx≤0，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得[f（x）]min的值．
解答： 解：（1）由題意可得
a
•
b
=cos
3x
2
cos
x
2
+sin
3x
2
（-sin
x
2
）
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos（
3x
2
+
x
2
）=cos2x．
∵
a
+
b
=（cos
3x
2
+cos
x
2
，sin
3x
2
-sin
x
2
），
∴|
a
+
b
|=
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3x
2
-sin
x
2
)2
=
2cos2x+2
=
4cos2x
=2|cosx|．
∵x∈[
π
2
，
3π
2
]，∴|
a
+
b
|=-2cosx．
（2）∵f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|=cos2x-（-2cosx）=cos2x+2cosx=2cos2x+2cosx-1
=2（cosx+
1
2
）2-
3
2
．  
∵x∈[
π
2
，
3π
2
]，∴-1≤cosx≤0，
∴當cosx=-
1
2
時，[f（x）]min=-
3
2
．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，求向量的模的方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在Rt△ABC中，∠C=90°，|
AB
|=5，|
CA
|=3，P為線段AB上的點，
CP
=x•
CA
|
CA
|
+y•
CB
|
CB
|
，則xy的最大值為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx-
π
6
），（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+θ）+1的圖象的對稱軸完全相同，當x∈[0，
π
2
]時，求出f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，左右焦點分別為F1、F2，拋物線y2=4
3
x的焦點F恰好是該橢圓的一個焦點．
（1）求橢圓方程；
（2）過橢圓的左頂點A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點，滿足
AM
•
AN
=0，當點M在橢圓上運動時，直線MN是否經(jīng)過x軸上的一定點，若過定點，請給出證明，并求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

閱讀材料，解答問題．
例：用圖象法解一元二次不等式x2-2x-3＞0．
解：設(shè)y=x2-2x-3，則y是x的二次函數(shù)．∵a=1＞0，∴拋物線開口向上．
又當y=0時，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3．
由此得拋物線y=x2-2x-3的大致圖象如圖所示：
觀察函數(shù)圖象可知：當x＜-1或x＞3時，y＞0．
∴x2-2x-3＞0的解集是：x＜-1或x＞3．
（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是
 
；
（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：x2-ax-2a2＞0
（3）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：ax2-（a+2）x+2＞0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax2-x（a∈R），g（x）=ln（x+1）．
（Ⅰ）若a=0，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)F（x）的極值點及相應(yīng)的極值；
（Ⅱ）若對于任意x2＞0，存在x1滿足x1＜x2且g（x1）=f（x2）成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（λ，1），
b
=（λ+2，1），若|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，則實數(shù)λ=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）2+blnx，其中b為常數(shù)．
（1）當b＞
1
2
時，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的有極值點，求b的取值范圍及f（x）的極值點；
（3）若b=-1，試利用（2）求證：n≥3時，恒有
1
n2
＜ln（n+1）-lnn＜
1
n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（Ⅰ）△ABC中，P為中線AM上一點，設(shè)
AP
=2
PM
，試用
AB
，
AC
表示
PA
．
（Ⅱ）設(shè)
e1
，
e2
是兩個不共線的向量，
AB
=2
e1
+k
e2
，
CB
=
e1
+3
e2
，
CD
=2
e1
-
e2
，若A、B、D三點共線，求k的值．

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