Question

【題目】直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓（a＞b＞0）的短軸長為，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率為1且經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于P1、P2兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，若（λ，μ∈R），證明：λ2+μ2為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）利用已知條件解得，，得到橢圓的方程.

（2）直線P1P2的方程為y＝x﹣2，由得，2x2﹣6x+3＝0，

設(shè)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P（x0，y0），結(jié)合韋達(dá)定理，以及向量關(guān)系，通過P、P1、P2都在橢圓上，轉(zhuǎn)化求解即可.

（1）依題意，，，

解得，，橢圓的方程為，

（2）證明：，直線P1P2的方程為y＝x﹣2，

由得，2x2﹣6x+3＝0，

設(shè)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P（x0，y0），則x1+x2＝3，，

由得x0＝λx1+μx2，y0＝λy1+μy2，

因為P、P1、P2都在橢圓上，所以，i＝0，1，2，

＝6λ2+6μ2+3λμ（1+2y1y2），

，

所以，6λ2+6μ2＝6，λ2+μ2＝1是定值.