Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)滿足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，求f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：不妨設(shè)x₁＞x₂＞0，則

x1

x2

＞1，根據(jù)條件得到f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），又當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，從而得到
f（x₁）＜f（x₂），由函數(shù)的單調(diào)性定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：令x₁＞x₂＞0，
則

x1

x2

＞1，
∵定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），
∴f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），
又當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
由函數(shù)的單調(diào)性定義，得，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，注意定義的應(yīng)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法，是一道基礎(chǔ)題．