Question

16．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$（n∈N^*）
（1）求證：{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$（n∈N^*），兩邊取倒數(shù)可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{{a}_{n}}+1$，變形為$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}$=$3（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}）$，即可證明．
（2）由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$，解出即可．

解答 （1）證明：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{{a}_{n}}+1$，
變形為$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}$=$3（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}）$．
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$，公比為3；
（2）解：由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$，
解得a_n=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式、等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．