Question

1．關(guān)于x的不等式$\frac{x}{{x}^{2}+16}$≤a≤$\frac{{x}^{2}+2}{x}$，對任意x∈（0，3]均成立，則實數(shù)a的取值范圍為$\frac{3}{25}$≤a≤$\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可確定實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{16}{x}}$，而x+$\frac{16}{x}$在（0，3]上單調(diào)遞減，∴f（x）_max=$\frac{1}{3+\frac{16}{3}}$=$\frac{3}{25}$；
g（x）=$\frac{{x}^{2}+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$在（0，3]上單調(diào)遞減，∴g（x）_min=3+$\frac{2}{3}$=$\frac{11}{3}$，
∵關(guān)于x的不等式$\frac{x}{{x}^{2}+16}$≤a≤$\frac{{x}^{2}+2}{x}$，對任意x∈（0，3]均成立，
∴實數(shù)a的取值范圍為$\frac{3}{25}$≤a≤$\frac{11}{3}$，
故答案為：$\frac{3}{25}$≤a≤$\frac{11}{3}$．

點評 本題考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求最值是關(guān)鍵．