Question

5．已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+$\frac{2}{x+1}$-1（x≥0，a＞0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx，當(dāng)a=1且b＜0時，對于任意x₁∈（0，1），總存在x₂∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），討論f′（x）＞0時，函數(shù)是增函數(shù)，f′（x）＜0時，函數(shù)是減函數(shù)；得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）a=1時，求出f（x）在（0，1）上的值域A；b＜0時，g（x）在（0，1）上的值域B；由題意A⊆B；從而求出b的取值范圍．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{{ax}^{2}+a-2}{（ax+1{）（x+1）}^{2}}$，其中a＞0，且x≥0），
若a≥2，x≥0時，得f′（x）＞0
即f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
若0＜a＜2時，令f′（x）=0，有x=$\frac{2-a}{a}$，或x=-$\frac{2-a}{a}$（舍去）      

x	（0，$\frac{2-a}{a}$）	$\frac{2-a}{a}$	（ $\frac{2-a}{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減函數(shù)		增函數(shù)

∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，$\frac{2-a}{a}$），單調(diào)增區(qū)間是 （ $\frac{2-a}{a}$，+∞），
（2）當(dāng)a=1時，由（2）得f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
∴l(xiāng)n2＜f（x）＜1，即f（x）的值域A=（ln2，1）；　
∵g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx，∴g′（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1），且b＜0，∴x∈（0，1）時g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，1）上是增函數(shù)．∴g（x）的值域B=（0，-$\frac{2}{3}$b）；
由任取x₁∈（0，1），存在x₂∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₂），∴A⊆B；
即-$\frac{2}{3}$b≥1，∴b≤-$\frac{3}{2}$；
∴b的取值范圍是{b|b≤-$\frac{3}{2}$}．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題，以及函數(shù)的值域問題，是較難的題目．