【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為( ,0),離心率為 .
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0 , y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線(xiàn)相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.
【答案】
(1)解:依題意知 ,求得a=3,b=2,
∴橢圓的方程為 + =1
(2)解:①當(dāng)兩條切線(xiàn)中有一條斜率不存在時(shí),即A、B兩點(diǎn)分別位于橢圓長(zhǎng)軸與短軸的端點(diǎn),P的坐標(biāo)為(±3,±2),符合題意,
②當(dāng)兩條切線(xiàn)斜率均存在時(shí),設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線(xiàn)為y=k(x﹣x0)+y0,
+ = + =1,整理得(9k2+4)x2+18k(y0﹣kx0)x+9[(y0﹣kx0)2﹣4]=0,
∴△=[18k(y0﹣kx0)]2﹣4(9k2+4)×9[(y0﹣kx0)2﹣4]=0,
整理得(x02﹣9)k2﹣2x0×y0×k+(y02﹣4)=0,
∴﹣1=k1k2= =﹣1,
∴x02+y02=13.
把點(diǎn)(±3,±2)代入亦成立,
∴點(diǎn)P的軌跡方程為:x2+y2=13
【解析】(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率求得a和b,則橢圓的方可得.(2)設(shè)出切線(xiàn)的方程,帶入橢圓方程,整理后利用△=0,整理出關(guān)于k的一元二次方程,利用韋達(dá)定理表示出k1k2 , 進(jìn)而取得x0和y0的關(guān)系式,即P點(diǎn)的軌跡方程.
【考點(diǎn)精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是( )
①當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù);
②當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有最小值;
③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);
④方程可能有三個(gè)實(shí)數(shù)根.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ為常數(shù).
(1)證明:an+2﹣an=λ
(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓: 的離心率是,且直線(xiàn): 被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線(xiàn)與圓: 相切:
(i)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(ii)若直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,與圓交于不同的兩點(diǎn)、,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨機(jī)觀測(cè)生產(chǎn)某種零件的某工作廠25名工人的日加工零件個(gè)數(shù)(單位:件),獲得數(shù)據(jù)如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[25,30] | 3 | 0.12 |
(30,35] | 5 | 0.20 |
(35,40] | 8 | 0.32 |
(40,45] | n1 | f1 |
(45,50] | n2 | f2 |
(1)確定樣本頻率分布表中n1 , n2 , f1和f2的值;
(2)根據(jù)上述頻率分布表,畫(huà)出樣本頻率分布直方圖;
(3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖,求在該廠任取4人,至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35]的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于莖葉圖的說(shuō)法,結(jié)論錯(cuò)誤的一個(gè)是( )
A. 甲的極差是29 B. 甲的中位數(shù)是25
C. 乙的眾數(shù)是21 D. 甲的平均數(shù)比乙的大
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)為的中點(diǎn).以為圓心,為半徑,作弧交于點(diǎn).若為劣弧上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面⊥底面,若分別為的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面⊥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
(1)求AC邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)方程;
(2)求AB邊上的高所在直線(xiàn)方程;
(3)求BC邊的垂直平分線(xiàn)的方程.
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