Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）設(shè)G為AB上一點(diǎn)，且平面ADE∥平面CFG，求AG長；
（2）求證：平面BCF⊥平面ACFE；
（3）點(diǎn)E在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為θ（θ≤90°），試求cosθ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AE∥FG，當(dāng)AG=1時(shí)，AG

∥

.

DC，四邊形AGCD是平行四邊形，AD∥CG，平面ADE∥平面CFG．
（2）由勾股定理得BC⊥AC，由線面垂直得BC⊥平面ACFE，由此能證明平面BCF⊥平面ACFE．
（3）建立分別以直線CA、CB、CF為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能示出cosθ∈[

7

7

，

1

2

]．

解答： （1）解：∵四邊形ACFE為矩形，∴AE∥FG，
∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，
∴當(dāng)AG=1時(shí)，AG

∥

.

DC，四邊形AGCD是平行四邊形，
∴AD∥CG，
又∵CG∩FC=C，CG，F(xiàn)C?平面CFG，
∴平面ADE∥平面CFG．
故AG=1．
（2）證明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，
∵平面ACEF⊥平面ABCD，
平面ACEF∩平面ABCD=AC，
BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE，
∵BC?平面BCF，∴平面BCF⊥平面ACFE．
（3）解：由（2），分別以直線CA、CB、CF為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
令FM=λ，0≤λ≤

3

，
則C（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），
∴

AB

=（-

3

，1，0），

BM

=（λ，-1，1），
設(shè)

n1

=（x，y，z）為平面MAB的一個(gè)法向量，
由

n1 • AB =- 3 x+y=0 n1 • BM =λx-y+z=0

，
取x=1，則

n1

=（1，

3

，

3

-λ），
∵

n2

=（1，0，0）是平面FCB的一個(gè)法向量，
∴cosθ=

1

1+3+( 3 -λ)2×1

=

1

(λ- 3 )2+4

，
∵0≤λ≤

3

，
∴當(dāng)λ=0時(shí)，cosθ有最小值

7

7

，
當(dāng)λ=

3

時(shí)，cosθ有最大值

1

2

．
∴cosθ∈[

7

7

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長的求法，考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．