Question

15．如圖，AB是圓O的直徑，C，F(xiàn)是圓O上的點(diǎn)，CA平分∠BAF，過C點(diǎn)作圓O的切線交AF的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，CM⊥AB，垂足為M．
（1）求證：CD⊥AF；
（2）若CD=$\sqrt{2}$，AM=2，求BM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓的切線性質(zhì)即可在證明CD⊥AF；
（2）利用三角形全等以及射影定理進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵CA平分∠BAF，∴∠BAC=∠CAD，
∵CD是圓的切線，
∴∠ACD=∠ABC，
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ABC+∠BAC=∠ACD+∠CAD=90°，
則∠ADC=90°，
即CD⊥AF；
（2）∵∠BAC=∠CAD，AC是公共邊，
∴Rt△AMC≌Rt△ADC
∴CM=CD=$\sqrt{2}$，
在Rt△ABCA，CM⊥AB，AM=2，
由射影定理得CM²=AM•BM，得BM=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何的證明，涉及圓的切線以及三角形全等，考查學(xué)生的推理能力．