Question

6．已知函數(shù)f（x）=1-xlnx-ax在（1，f（1））處的切線與2x+y+2=0平行
（Ⅰ）求實數(shù)a的值和f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=-x²+2kx（k＞0），若對任意x₂∈[0，1]總存在x₁∈（0，+∞）使得g（x₂）＜f（x₁），求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，計算f′（1），解出a，求出f（x）的表達式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為g（x）_max＜f（x）_max，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分別求出f（x），g（x）在其區(qū)間上的最大值，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知在（1，f（1））處的切線的斜率為-2，
又f′（x）=-lnx-1-a，
∴f′（1）=-ln1-1-a=-1-a=-2，所以a=1，
所以f（x）=1-xlnx-x，f′（x）=-lnx-2，
由f′（x）=-lnx-2＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{{e}^{2}}$，
f′（x）=-lnx-2＜0，解得：x＞$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴f（x） 的增區(qū)間為（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$），減區(qū)間為（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）；
（Ⅱ）對任意x₂[0，1]總存在x₁∈（0，+∞）使得g（x₂）＜f（x₁），
∴g（x）_max＜f（x）_max，
又（Ⅰ）知當x=$\frac{1}{{e}^{2}}$時f（x）_max=f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=1+$\frac{1}{{e}^{2}}$，
對于g（x）=-x²+2kx，其對稱軸為x=k，又k＞0，
①0＜k≤1 時，g（x）_max=g（k）=k²，
∴k²＜1+$\frac{1}{{e}^{2}}$，從而0＜k≤1；
②k＞1時，g（x）_max=g（1）=2k-1，
∴2k-1＜1+$\frac{1}{{e}^{2}}$，從而1＜k＜1+$\frac{1}{{2e}^{2}}$，
綜上可知，0＜k＜1+$\frac{1}{{2e}^{2}}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．