Question

5．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，f（1+x）=f（1-x），f（1）=a，且當(dāng)0＜x＜1時，f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足：f′（x）＜f（x），則f（x）在[2015，2016]上的最大值為（　�。�

• A． a
• B． 0
• C． -a
• D． 2016

Answer 1

分析 求出函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)在0＜x＜1時，f（x）遞減，求出f（x）在[2015，2016]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
滿足f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∵f（x+1）=f（1-x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[1-（x+1）]=f（-x）=-f（x），
即f（x+2）=-f（x），
f（x+4）=-f（x+2），
∴f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)的周期為4，
0＜x＜1時，f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足：f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）遞減，即f（x）在[2015，2016]遞減，
∴f（x）在[2015，2016]上的最大值為f（2015），
∴f（2015）=f（4×504-1）=f（-1）=-f（1），
∵f（1）=a，∴f（2015）=-a，
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．