Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），若焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于漸近線y=$\frac{a}$x的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線y=-$\frac{a}$x上，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 首先求出F₁到漸近線的距離，利用焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于漸近線y=$\frac{a}$x的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線y=-$\frac{a}$x上，可得直角三角形，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
設(shè)一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，則F₁到漸近線的距離為$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b．
設(shè)F₁關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M，F(xiàn)₁M與漸近線交于A，∴|MF₁|=2b，A為F₁M的中點(diǎn)，
又焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于漸近線y=$\frac{a}$x的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線y=-$\frac{a}$x上，
∴OA∥F₂M，∴∠F₁MF₂為直角，
∴△MF₁F₂為直角三角形，
∴由勾股定理得4c²=c²+4b²
∴3c²=4（c²-a²），∴c²=4a²，
∴c=2a，∴e=2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)以及有關(guān)離心率和漸近線，考查勾股定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．