Question

20．關(guān)于x的方程${x^2}+4xsin\frac{α}{2}+mtan\frac{α}{2}=0（0＜α＜π）$有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若$m+2cosα=\frac{4}{3}$，求$\frac{1+sin2α-cos2α}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用韋達(dá)定理求得m=2sinα，結(jié)合0＜α＜π，求得m的范圍．
（2）化簡(jiǎn)要求的式子為2sinαcosα，由$m+2cosα=\frac{4}{3}$=2sinα，求得$sinα+cosα=\frac{2}{3}$，平方可得2sinαcosα的值．

解答 解：（1）關(guān)于x的方程${x^2}+4xsin\frac{a}{2}+mtan\frac{a}{2}=0（0＜α＜π）$有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=16${sin}^{2}\frac{α}{2}$-4mtan$\frac{α}{2}$=0，求得m=$\frac{1{6sin}^{2}\frac{α}{2}}{4tan\frac{α}{2}}$=4sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=2sinα．
因?yàn)?＜α＜π，所以0＜2sinα≤2．
即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為（0，2]．
（2）$\frac{1+sin2α-cos2α}{1+tanα}=\frac{{2{{sin}^2}α+2sinαcosα}}{{1+\frac{sinα}{cosα}}}$=$\frac{2sinαcosα（sinα+cosα）}{sinα+cosα}=2sinαcosα$，
當(dāng)$m+2cosα=\frac{4}{3}$時(shí)，又∵m=2sinα，則$sinα+cosα=\frac{2}{3}$，
平方得$1+2sinαcosα=\frac{4}{9}$，∴$2sinαcosα=-\frac{5}{9}$，
即$\frac{1+sin2α-cos2α}{1+tanα}=-\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查韋達(dá)定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．