Question

17．如圖，點P是△ABC所在平面外的一點，PA=PB=PC=AB=BC=AC=1，F(xiàn)為AP的中點．
（1）求異面直線PC與AB所成角的大��；
（2）求異面直線AB與PC的距離；
（3）E為AB的中點，求CF與PE所成角的大��；
（4）求P到平面ABC的距離；
（5）求F到平面ABC的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三垂線定理求異面直線PC與AB所成角的大��；
（2）取AB中點E，連接PE，CE，取PC中點M，則EM為異面直線AB與PC的距離；
（3）取AE的中點N，連接FN，CN，則FN∥PE，則∠CFN（或其補角）為CF與PE所成角；
（4）利用勾股定理求P到平面ABC的距離；
（5）利用F為AP的中點求F到平面ABC的距離．

解答 解：（1）設(shè)P在平面ABC中的射影為O，連接OC，則OC⊥AB，
根據(jù)三垂線定理，可得AB⊥PC，
∴異面直線PC與AB所成角的大小為90°；
（2）取AB中點E，連接PE，CE，取PC中點M，則EM為異面直線AB與PC的距離，
∵PE=EC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PC=1，
∴EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）取AE的中點N，連接FN，CN，則FN∥PE，則∠CFN（或其補角）為CF與PE所成角．
△CFN中，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)N=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，CN=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴cos∠CFN=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{3}{16}-\frac{13}{16}}{2•\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{4}}$=$\frac{1}{6}$，
∴CF與PE所成角為arccos$\frac{1}{6}$；
（4）△PEO中，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，∴PO=$\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{3}{36}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴P到平面ABC的距離為$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（5）∵F為AP的中點，
∴F到平面ABC的距離為$\frac{1}{2}$PO=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查空間角與距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．