Question

【題目】已知點(diǎn)在橢圓上，橢圓的右焦點(diǎn)，直線過橢圓的右頂點(diǎn)，與橢圓交于另一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若為弦的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）若，交橢圓于點(diǎn)，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)為,利用橢圓的定義及兩點(diǎn)間距離公式可求得,結(jié)合及橢圓中的關(guān)系可求得,則求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）根據(jù)直線過橢圓的右頂點(diǎn)可設(shè)出直線,聯(lián)立橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理可用斜率表示出D點(diǎn)的坐標(biāo),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)坐標(biāo),即可得直線的斜率.根據(jù)直線交軸于,可表示出點(diǎn)坐標(biāo).設(shè)出定點(diǎn),表示出直線的斜率,根據(jù)可知,根據(jù)恒成立問題即可求得的坐標(biāo).

（3）設(shè)出直線的方程,聯(lián)立橢圓即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo),代入后化簡為關(guān)于直線斜率的表達(dá)式,通過構(gòu)造函數(shù),并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得的取值范圍.

（1）設(shè)橢圓過的定點(diǎn)為,且左焦點(diǎn)為

因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)則

所以

由橢圓定義

所以

由橢圓中的關(guān)系可知

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）由題意可知,直線的斜率存在且不為0,

直線過橢圓的右頂點(diǎn),交另外一點(diǎn)于D.設(shè)直線的方程,

聯(lián)立方程可得,

消去整理得：,

則由韋達(dá)定理可知,

則,代入直線方程可得,

∴,

由為弦的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,

∴直線的斜率,

對于直線的方程,令,則,

假設(shè)存在定點(diǎn),,滿足,

直線的斜率,

∴,整理得,

由恒成立,則,解得

則定點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）由,則直線的方程,設(shè),

由,解得,

∵

令,（直線的斜率存在且不為0,∴）

∵函數(shù)在單調(diào)遞增,

∴的取值范圍是.