Question

10．若函數(shù)y=$\frac{1}{2}$sin2x+acosx在區(qū)間（0，π）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜-1．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)y=$\frac{1}{2}$sin2x+acosx的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：a＜-2x+$\frac{1}{x}$，x∈（0，1），令g（x）=-2x+$\frac{1}{x}$，求出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答 解：∵y=$\frac{1}{2}$sin2x+acosx在區(qū)間（0，π）上是增函數(shù)，
∴y′=cos2x-asinx＞0，
∴1-2sinx²-asinx＞0，
即-2x²-ax+1＞0，x∈（0，1），
∴a＜-2x+$\frac{1}{x}$，
令g（x）=-2x+$\frac{1}{x}$，
則g′（x）=-2-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
∴g（x）在（0，1）遞減，
∴a＜g（1）=-1，
故答案為：a＜-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了好的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，問題轉(zhuǎn)化為：a＜-2x+$\frac{1}{x}$是解題的關(guān)鍵．