Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且 S_n=n²-4n+4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{a_n}{2^n}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²-4n+4，取n=1得首項(xiàng)，當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1得數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=$\frac{a_n}{2^n}$，整理后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答 解：（1）由S_n=n²-4n+4，得${a}_{1}={S}_{1}={1}^{2}-4×1+4=1$，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-（n-1）²+4（n-1）-4=2n-5．
當(dāng)n=1時(shí)上式不成立，
${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）b_n=$\frac{a_n}{2^n}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{\frac{2n-5}{{2}^{n}}，n≥2}\end{array}\right.$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$+R_n，
${R}_{n}=\frac{-1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-5}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{R}_{n}=\frac{-1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{2n-7}{{2}^{n}}+\frac{2n-5}{{2}^{n+1}}$，
兩式作差得：$\frac{1}{2}{R}_{n}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{2n-5}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-3}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2n-5}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-3}}）-\frac{2n-5}{{2}^{n+1}}$，
∴${R}_{n}=\frac{1}{2}-\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
則${T}_{n}=1-\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．