Question

20．正四棱錐P-ABCD的底邊及側(cè)棱長(zhǎng)都是2，M，N分別為底邊CD，CB上的動(dòng)點(diǎn)，且CM=CN，當(dāng)四面體P-AMN的體積最大時(shí)，直線PA與面PMN的所成角的大小是45°．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，設(shè)CM=CN=x，把四面體P-AMN的底面的面積的平方用含有x的代數(shù)式表示，求導(dǎo)得到使底面積最大的x值，再由高一定可得體積最大，由此求出體積最大時(shí)直線PA與面PMN的所成角的大�。�

解答 解：如圖，

設(shè)CM=CN=x，則DM=1-x，MN=$\sqrt{2}x$，
AM²=4+（2-x）²=8-4x+x²，$A{G}^{2}=A{M}^{2}-M{G}^{2}=8-4x+{x}^{2}-\frac{1}{2}{x}^{2}$=$\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+8$．
${{S}_{△AMN}}^{2}=\frac{1}{4}（\sqrt{2}x）^{2}•（\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+8）$=$\frac{1}{4}{x}^{4}-2{x}^{3}+4{x}^{2}$．
令f（x）=$\frac{1}{4}{x}^{4}-2{x}^{3}+4{x}^{2}$，則f′（x）=x³-6x²+8x，
由f′（x）=0，得x=2或x=4（舍），
∴當(dāng)x=2時(shí)，${{S}_{△AMN}}^{2}$有最大值，即S_△AMN有最大值，四面體P-AMN的體積最大．
此時(shí)M與D重合，N與B重合，由△BAD≌△DPB，可得直線PA與面PMN的所成角的大小是45°．
故答案為：45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間角的求法，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查學(xué)生靈活處理問(wèn)題的能力，是中檔題．