Question

5．已知圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{6}$），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+n}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，n∈R）
（1）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，求圓E的直角坐標(biāo)方程；
（2）圓E上有且僅有三點(diǎn)到直線l的距離為$\sqrt{3}$，求實(shí)數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{6}$），化為ρ²=$4\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ+\frac{1}{2}ρcosθ）$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．
（2）圓心$（\sqrt{3}，3）$到直線的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}-3-2n|}{\sqrt{5}}$，由于圓E上有且僅有三點(diǎn)到直線l的距離為$\sqrt{3}$，半徑r=2$\sqrt{3}$．可得d=$\sqrt{3}$，解出即可．

解答 解：（1）圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{6}$），化為ρ²=$4\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ+\frac{1}{2}ρcosθ）$，
∴x²+y²=6y+2$\sqrt{3}$x，配方為：$（x-\sqrt{3}）^{2}$+（y-3）²=12．
（2）直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+n}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，n∈R）化為2x-y-2n=0．
圓心$（\sqrt{3}，3）$到直線的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}-3-2n|}{\sqrt{5}}$，
∵圓E上有且僅有三點(diǎn)到直線l的距離為$\sqrt{3}$，半徑r=2$\sqrt{3}$．
∴$\frac{|2\sqrt{3}-3-2n|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{3}$，
解得n=$\frac{2\sqrt{3}±\sqrt{15}-3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．