Question

7．若方程$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a=0恰有唯一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，+∞）．

Answer 1

分析 由題意設(shè)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a并求出f′（x），求出△的式子并根據(jù)△的符號(hào)進(jìn)行分類討論，由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，列出f（x）存在唯一的零點(diǎn)的等價(jià)條件，求出a的范圍即可．

解答 解：由題意設(shè)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a，∴f′（x）=x²-2x+a，
△=4-4a=4（1-a），
①當(dāng)a≥1時(shí)，△≤0，f′（x）≥0，
∴f（x）在R上是增函數(shù)，且f（0）=-a＜0，
∴f（x）存在唯一的零點(diǎn)，則方程$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a=0恰有唯一解；
②當(dāng)a＜1時(shí)，△＞0，由x²-2x+a=0得，${x}_{1}=1-\sqrt{1-a}$、${x}_{2}=1+\sqrt{1-a}$，
當(dāng)x＞$1+\sqrt{1-a}$或x＜$1-\sqrt{1-a}$時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)$1-\sqrt{1-a}$＜x＜$1+\sqrt{1-a}$時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，$1-\sqrt{1-a}$）、（$1+\sqrt{1-a}$，+∞）上單調(diào)遞增，
在（$1-\sqrt{1-a}$，$1+\sqrt{1-a}$）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=$1-\sqrt{1-a}$時(shí)，f（x）取極大值f（$1-\sqrt{1-a}$）=$\frac{1}{3}（1-\sqrt{1-a}）^{3}-（1-\sqrt{1-a}）^{2}+a（1-\sqrt{1-a}）$-a
=$-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{1-a}-\frac{2}{3}a\sqrt{1-a}$=$\frac{2}{3}[（1-a）\sqrt{1-a}-1]$，
當(dāng)x=$1+\sqrt{1-a}$時(shí)，f（x）取極小值f（$1+\sqrt{1-a}$）=$\frac{1}{3}{（1+\sqrt{1-a}）}^{3}-{（1+\sqrt{1-a}）}^{2}+a（1+\sqrt{1-a}）$-a
=$-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{1-a}+\frac{2}{3}a\sqrt{1-a}$=$-\frac{2}{3}[（1-a）\sqrt{1-a}+1]$，
∵f（x）存在唯一的零點(diǎn)，∴$\frac{2}{3}[（1-a）\sqrt{1-a}-1]＜0$或$-\frac{2}{3}[（1-a）\sqrt{1-a}+1]＞0$，
解得0＜a＜1，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞），

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，以及化簡(jiǎn)計(jì)算能力，屬于中檔題．