Question

2．設(shè) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x-1}$的圖象上任意兩點，若 M為 A，B的中點，且 M的橫坐標為1．
（1）求y₁+y₂；
（2）若T_n=$\frac{1}{2}[{f（{\frac{1}{2n}}）+f（{\frac{3}{2n}}）+f（{\frac{5}{2n}}）+…+f（{\frac{4n-1}{2n}}）}]$，n∈N^*，求 T_n；
（3）已知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{n+1}{2^n}$（n≥1，n∈N^*），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若不等式2ⁿ•S_n＜m•2ⁿ-4T_n+5對任意n∈N^*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用中點坐標公式即可得出；
（2）由（1），當x₁+x₂=2時，有f（x₁）+f（x₂）=2，利用此結(jié)論可得T_n．
（3）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出S_n．不等式2ⁿ•S_n＜m•2ⁿ-4T_n+5，即m-3＞$\frac{3n-8}{2^n}$恒成立，故只需$m-3＞{（\frac{3n-8}{2^n}）_{max}}$．令b_n=$\frac{3n-8}{2^n}$，研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由已知點M為線段AB的中點，則：x₁+x₂=2，
∴${y_1}+{y_2}=（{x_1}-\frac{1}{{{x_1}-1}}）+（{x_2}-\frac{1}{{{x_2}-1}}）={x_1}+{x_2}-（\frac{1}{{{x_1}-1}}+\frac{1}{{{x_2}-1}}）=2$．
（2）由（1），當x₁+x₂=2時，有f（x₁）+f（x₂）=2，
故$f（\frac{1}{2n}）+f（\frac{4n-1}{2n}）=2，f（\frac{3}{2n}）+f（\frac{4n-3}{2n}）=2，…$
由T_n=$\frac{1}{2}[f（\frac{1}{2n}）+f（\frac{3}{2n}）+f（\frac{5}{2n}）+…+f（\frac{4n-1}{2n}）]$，
T_n=$\frac{1}{2}[f（\frac{4n-1}{2n}）+f（\frac{4n-3}{2n}）+f（\frac{4n-5}{2n}）+…+f（\frac{1}{2n}）]$，
2T_n=$\frac{1}{2}\{[f（\frac{1}{n}）+f（\frac{2n-1}{n}）]+[f（\frac{3}{n}）+f（\frac{2n-3}{n}）]+…+[f（\frac{2n-1}{n}）+f（\frac{1}{n}）]\}$=$\frac{1}{2}$×2n×2=2n，
∴T_n=n．
（3）由已知：S_n=1+$\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+…+\frac{n+1}{2^n}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，$\frac{1}{2}{S_n}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
∴S_n=3-$\frac{n+3}{2^n}$．
不等式2ⁿ•S_n＜m•2ⁿ-4T_n+5即3•2ⁿ-（n+3）＜m•2ⁿ-4n+5，
也即（m-3）•2ⁿ＞3n-8，即m-3＞$\frac{3n-8}{2^n}$恒成立，
故只需$m-3＞{（\frac{3n-8}{2^n}）_{max}}$．
令b_n=$\frac{3n-8}{2^n}$，
當n≥2時，b_n-b_n-1=$\frac{3n-8}{2^n}-\frac{3n-11}{{{2^{n-1}}}}=\frac{3n-8-6n+22}{2^n}=\frac{14-3n}{2^n}$，
當n≤4時，b_n-b_n-1＞0，當n≥5時，b_n-b_n-1＜0，
故b₁＜b₂＜b₃＜b₄； b₄＞b₅＞b₆＞…，
故（b_n）_max=b₄=$\frac{1}{4}$，
∴m-3＞$\frac{1}{4}$，解得：m＞$\frac{13}{4}$．

點評 本題考查了遞推式的應用、“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式、中點坐標公式、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．