Question

4．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的焦距為4，離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點C，D，如果C，D能都在以點A（0，-1）為圓心的同一個圓上，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設雙曲線C的焦距為2c，運用離心率公式和a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到雙曲線的標準方程；
（2）將直線l的方程代入雙曲線的方程，可得x的二次方程，運用韋達定理和判別式大于0，由中點坐標公式可得CD的中點M的坐標，由題意可得直線l與直線AM垂直，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得k，m的關系式，代入判別式大于0的式子，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設雙曲線C的焦距為2c，
由題意得2c=4，$\frac{c}{a}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
所以c=2，$a=\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
所以雙曲線C的標準方程為$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$．
（2）聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{3}-{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（3k²-1）x²+6kmx+3（m²+1）=0，
首先應有$\left\{{\begin{array}{l}{3{k^2}-1≠0}\\{△={{（6km）}^2}-4（3{k^2}-1）×3（{m^2}+1）＞0}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{3{k^2}-1≠0}\\{{m^2}-3{k^2}+1＞0}\end{array}}\right.$（※），
設點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），線段CD的線段為M（x₀，y₀），
由韋達定理得${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{3{k^2}-1}}$，
所以${x_0}=\frac{-3km}{{3{k^2}-1}}$，${y_0}=k{x_0}+m=\frac{-m}{{3{k^2}-1}}$，
所以點$M（\frac{-3km}{{3{k^2}-1}}，\frac{-m}{{3{k^2}-1}}）$，
可得直線AM的斜率為${k_{AM}}═\frac{{\frac{-m}{{3{k^2}-1}}+1}}{{\frac{-3km}{{3{k^2}-1}}}}=\frac{{3{k^2}-m-1}}{-3km}$，
由題意應有直線l與直線AM垂直，所以k_AM•k=-1，
即$\frac{{3{k^2}-m-1}}{-3km}•k=-1$，
化簡得3k²=4m+1，因為3k²＞0，
所以4m+1＞0，解得$m＞-\frac{1}{4}$．
將3k²=4m+1代入（※）式得$\left\{{\begin{array}{l}{4m+1-1≠0}\\{{m^2}-（4m+1）+1＞0}\end{array}}\right.$，
解得m＜0或m＞4．
故m的取值范圍是$\left\{{m\left|{-\frac{1}{4}＜m＜0，或m＞4}\right.}\right\}$．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用離心率公式和a，b，c的關系，考查直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．