Question

13．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$，其漸近線與圓（x-6）²+y²=16相切，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，化為一般式，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的漸近線方程為
y=±$\frac{a}$x，即為bx±ay=0，
由漸近線與圓（x-6）²+y²=16相切，可得：
$\frac{6b}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=4，
可得b=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，考查漸近線方程的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．