Question

16．如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAB和△CAB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形，若AB=2PC=$\sqrt{2}$，D是PC的中點
（1）證明：AB⊥PC；
（2）求AD與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用直線平面的垂直來證明得出AB⊥平面PEC，再利用轉為直線直線的垂直證明．
（2）作出AD與平面ABC所成角的角，轉化為三角形求解即可．

解答 證明：（1）取AB中點E，
∵△PAB和△CAB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形
∴CE⊥AB，PE⊥AB，
∵CE∩PE=E，
∴∵PC?平面PEC
∴AB⊥PC
解：（2）∵$PE=CE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴角形PEC為正三角形，
過P作PO⊥CE，則PO⊥平面ABC，
過D作DH平行PO，則DH⊥平面ABC，
連AH，則∠DAH為所求角
$PO=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，$DH=\frac{{\sqrt{6}}}{8}，AD=\frac{{\sqrt{14}}}{4}$，$sin∠DAH=\frac{DH}{AD}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．

點評 本題考查了直線平面的垂直問題，空間平面的轉化思想，分析問題的能力，屬于中檔題，但是難度不大．