Question

5．如圖，在正方體ABCD一A₁B₁C₁D₁中，AB=3，CE=2EC₁．
（Ⅰ）若F是AB的中點，求證：C₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱錐D-BEB₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接CF，交BD于點M，連接ME，證明EM∥C₁F，即可證明C₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）三棱錐D-BEB₁的體積=$\frac{1}{3}×{S}_{△BE{B}_{1}}×DC$，可得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：連接CF，交BD于點M，連接ME，則△BMF∽△DMC．
∵F是AB的中點，
∴$\frac{MF}{MC}=\frac{BF}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∵CE=2EC₁，
∴△CFC₁中，$\frac{MF}{MC}$=$\frac{E{C}_{1}}{EC}$，
∴EM∥C₁F，
∵EM?平面BDE，C₁F?平面BDE
∴C₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）解：三棱錐D-BEB₁的體積=$\frac{1}{3}×{S}_{△BE{B}_{1}}×DC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×3×3$=$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查三棱錐的體積的計算，正確運用線面平行的判定定理是關鍵．