Question

3．如圖，已知點(diǎn)A（10，0），直線x=t（0＜t＜10）與函數(shù)y=e^x+1的圖象交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)H，記△APH的面積為f（t）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（t）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（t）的最大值．

Answer 1

分析 （ I）由題意設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，來(lái)表示AH，PH的大小，計(jì)算出△APH的面積f（t）=$\frac{1}{2}$•AH•PH；
（ II）求f（t）的導(dǎo)函數(shù)f，（t），令f'（t）=0，求得f'（t）＞0、＜0的t的取值范圍，從而求得f（t）的最大值．

解答 解：（ I）由已知AH=10-t，PH=e^t+1
所以△APH的面積為$f（t）=\frac{1}{2}（10-t）{e^{t+1}}，0＜t＜10$．
（ II）解：$f'（t）=-\frac{1}{2}{e^{t+1}}+\frac{1}{2}×（10-t）×{e^{t+1}}={e^{t+1}}（5-t）$，
令f'（t）=0，解得得t=5，
函數(shù)f（t）與f'（t）在定義域上的情況下表：

t	（0，5）	5	（5，10）
f'（t）	+	0	-
f（t）	↗	極大值	↘

所以當(dāng)t=5時(shí)，函數(shù)f（t）取得最大值$t=\frac{5}{2}{e^6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中有利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問(wèn)題，屬于中檔題．