Question

15．在△ABC中，cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，最長的邊長為$\sqrt{5}$，則最短的邊長為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 根據已知利用同角三角函數間的基本關系求出sinB，sinA的值，進而求出tanB，tanA的值，根據三角形的內角和定理及誘導公式表示出tanC，把tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由tanC的值為負數及C的范圍得到C為鈍角即最大角即c=$\sqrt{5}$，利用特殊角的三角函數值求出C的度數及sinC的值，又tanA大于tanB，根據正切函數為增函數，得到B為最小角，b為最小邊，根據正弦定理，由sinB，sinC及c的值即可求出b的值．

解答 解：∵在△ABC中，cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
則tanB=$\frac{1}{3}$，又tanA=$\frac{1}{2}$，且C=π-（A+B），
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}$=-1，
∵C∈（0，π），∴C為鈍角，則C＞A且C＞B，
∴C=$\frac{3π}{4}$，且c為最大邊，則c=$\sqrt{5}$，sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵tanA＞tanB，∴A＞B，則B為最小角，b為最小邊，
根據正弦定理得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=1．
故選：C．

點評 此題考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系及誘導公式化簡求值，靈活運用兩角和的正切函數公式及正弦定理化簡求值，掌握三角形中大邊對大角，小角對小邊的性質的運用，是一道中檔題．