Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³+m．
（1）試用定義證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（2）若關于x的不等式f（x）≥x³+3x²-3x在區(qū)間[1，2]上有解，求m的取值范圍．參考公式：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調性的定義證明即可；（2）問題轉化為不等式m≥3x²-3x在區(qū)間[1，2]上有解，結合二次函數(shù)的性質求出m的范圍即可．

解答 （1）證明：任取x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂
則$f（{x_2}）-f（{x_1}）={x_2}^3-{x_1}^3=（{x_2}-{x_1}）（{x^2}_2+{x_2}{x_1}+{x^2}_1）$
因為0＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，${x^2}_2+{x_2}{x_1}+{x^2}_1＞0$x∈
即f（x₂）-f（x₁）＞0
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增
（2）解：不等式f（x）≥x³+3x²-3x在區(qū)間[1，2]上有解，
即不等式m≥3x²-3x在區(qū)間[1，2]上有解，
即m不小于3x²-3x在區(qū)間[1，2]上的最小值
因為[1，2]時，$3{x^2}-3x=3{（x-\frac{1}{2}）^2}-\frac{3}{4}∈[{0，6}]$，
所以m的取值范圍是[0，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．