Question

15．已知函數(shù)$f（x）=2x+\frac{1}{x}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析 （1）由$f（{-x}）=-2x-\frac{1}{s}=-f（x）$，可得f（x）是奇函數(shù)；
（2）f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，證法一：作差，利用單調(diào)性的定義可證明；證法二：求導(dǎo)，可證明．

解答 解：（1）∵f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
且$f（{-x}）=-2x-\frac{1}{s}=-f（x）$，
∴f（x）是奇函數(shù)，…（4分）
（2）f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，證明如下：
證法一：
設(shè)2≤x₁＜x₂，
∴$f（{x_1}）-f（{x_2}）=2（{{x_1}-{x_2}}）+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=2（{{x_1}-{x_2}}）+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}=（{{x_2}-{x_1}}）（{\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}-2}）$，
∵x₂＞x₁，且x₁x₂＞4，
∴$\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}-2＜0，{x_2}-{x_1}＞0$
∴f（x₁）＜f（x₂），
即證f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．…（12分）
證法二：
∵$f′（x）=2-\frac{1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，
即f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．