Question

18．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=4+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂的方程為ρ=4sinθ，
（1）求曲線C₁與C₂的直角坐標方程；
（2）曲線C₁與C₂交于M，N兩點，求線段MN的長．

Answer 1

分析 （1）C₁的參數(shù)方程，C₂的極坐標方程ρ=4sinθ都轉(zhuǎn)化為直角坐標方程．即可．
（2）利用圓心到直線x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0的距離為d，半徑以及半弦長滿足勾股定理求解即可．

解答 解：（1）由題意得，C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=4+t}\end{array}\right.$轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0，C₂的極坐標方程ρ=4sinθ轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為x²+y²=4y，
即x²+（y-2）²=2²，…（5分）
（2）圓心（0，2）到直線x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0的距離為d=$\frac{||0+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
所以|MN|=2$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2．…（10分）

點評 本題考查直線的參數(shù)方程，圓的極坐標方程與普通方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系的應用，考查計算能力．