Question

7．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，且長軸長等于4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）F₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個焦點，⊙O是以F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并與橢圓C交于不同的兩點A，B，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 （I）由題意長軸長為4求得a的值，離心率e=$\frac{1}{2}$，得出c=1，可得b，即可求橢圓C的方程；
（II）由于圓O是以F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，利用直線與圓相切的從要條件得到一個等式，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用整體代換的思想，根據(jù)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{2}$，建立k的方程求k．

解答 解：（I）由題意，長軸長為4，即2a=4，解得：a=2，
∵離心率e=$\frac{1}{2}$，∴c=1，
∴b²=3，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（II）由直線l與圓O相切，得：$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，∴m²=1+k²．
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）   
由直線l：y=kx+m與橢圓方程，消去y，
整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{7{m}^{2}-12{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵m²=1+k²，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{-5-5{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{2}$，
解得：k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 此題考查了橢圓的基本性質(zhì)及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了直線方程與橢圓方程聯(lián)立之后的整體代換設(shè)而不求，還有求解問題時方程的思想．