Question

3．已知{b_n}為單調遞增的等差數(shù)列，b₃+b₈=26，b₅b₆=165，設數(shù)列{a_n}滿足2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=2${\;}^{_{n}}$
（1）求數(shù)列{b_n}的通項；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設{b_n}的公差為d（d＞0），運用等差數(shù)列的性質，解方程可得b₅=11，b₆=15，求得d=4，再由等差數(shù)列的通項公式即可得到所求；
（2）討論n=1，可得a₁；n＞1時，將n換為n-1，相減可得a_n，再由等比數(shù)列的求和公式，化簡即可得到所求．

解答 解：（1）設{b_n}的公差為d（d＞0），
由b₃+b₈=b₅+b₆=26，又b₅b₆=165，
解得b₅=11，b₆=15，（b₅=16，b₆=11舍去），
可得d=b₆-b₅=4，
則b_n=b₅+（n-5）d=11+4（n-5）=4n-9；
（2）由2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=2^4n-9，
當n≥2，2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=2^4n-13，
可得2ⁿa_n=2^4n-9-2^4n-13=15•2^4n-13，
當n≥2時，a_n=15•2^3n-13，
又n=1時 2a₁=2^-5，得a₁=2^-6，
即有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-6}，n=1}\\{15•{2}^{3n-13}，n≥2}\end{array}\right.$，
則前n項和S_n=2^-6+$\frac{15•{2}^{-7}（1-{8}^{n-1}）}{1-8}$
=$\frac{15•{8}^{n-1}-1}{896}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和性質的運用，考查等比數(shù)列的求和公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題．