Question

如圖所示，在直徑為BC的半圓中，A是弧BC上一點(diǎn)，正方形PQRS內(nèi)接于△ABC，若BC=a，∠ABC=θ，設(shè)△ABC的面積為S_l，正方形PQRS的面積為S₂．
（1）用a，θ表示S₁和S₂；
（2）當(dāng)a固定，θ變化時(shí)，求

S1

S2

取得最小值時(shí)θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)AB=acosθ，AC=asinθ，可得S₁=

1

2

•AB•AC的值．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，BQ=x•cotθ，RC=x•tanθ，
則由BC=x+x•cotθ+x•tan θ=a，解得x的值，可得S₂=x² 的值．
（2）根據(jù)

S1

S2

=

1

4

sin2θ+

1

sin2θ

+1，設(shè)sin 2θ=t，則y=

S1

S2

=

1

4

（t+

4

t

+4），由于f（t）=t+

4

t

（0＜t≤1），以及f（t）在（0，1]上是減函數(shù)，可得 

S1

S2

取最小值，以及此時(shí)的θ值．

解答： 解：（1）因?yàn)锳B=acosθ，AC=asinθ，∴S₁=

1

2

•AB•AC=

1

2

a•cosθ•asinθ=

1

4

 a²sin 2θ．
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，BQ=x•cotθ，RC=x•tanθ，
則x+x•cotθ+x•tan θ=a，解得x=

a•sinθcosθ

sinθcosθ+1

，
所以S₂=x²=

a2•sin2θ•cos 2θ

sin2θcos 2θ+1+2sinθcosθ

．
（2）當(dāng)a固定，θ變化時(shí)，

S1

S2

=

sin2θ•cos 2θ+1+2sinθcosθ

2sinθcosθ

=

sinθcosθ

2

+

1

2sinθcosθ

+1
=

1

4

sin2θ+

1

sin2θ

+1，
設(shè)sin 2θ=t，則y=

S1

S2

=

1

4

（t+

4

t

+4），
∵0＜t≤1，f（t）=t+

4

t

（0＜t≤1），
易證f（t）在（0，1]上是減函數(shù)．
故當(dāng)t=1時(shí)，f（t）取得最小值，此時(shí)，

S1

S2

 取最小值，此時(shí)，2θ=

π

2

，θ=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．