Question

19．在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，以O為圓心的圓與直線$\sqrt{2}x+y-3\sqrt{3}=0$相切．
（1）求圓O的方程；
（2）直線l：y=kx+4與圓O交于A，B兩點，在圓O上是否存在一點M，使得△OAM與△OBM都為等邊三角形？若存在，求出此時直線l的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)半徑即為圓心到切線的距離求得半徑r的值，可得所求的圓的方程；
（2）由直線l與圓O相交，得到圓心到直線l的距離d小于圓的半徑r，利用關于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，假設存在點M，使得△OAM與△OBM都為等邊三角形，則四邊形OAMB為菱形，利用菱形的性質得到對角線OM與AB垂直且平分，可得出圓心O到直線l的距離d等于|OM|的一半，即為半徑的一半，根據(jù)半徑求出d的值，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，代入k范圍中檢驗，滿足條件，故存在點M，使得△OAM與△OBM都為等邊三角形．

解答 解：（1）設圓的方程為x²+y²=r²，由題可知，半徑即為圓心到切線的距離，故r=$\frac{|-3\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+1}}=3$，
∴圓的方程是x²+y²=9；
（2）假設在圓O上是否存在一點M，使得△OAM與△OBM都為等邊三角形．
直線l：y=kx+4與圓O相交于A，B兩點，
∴圓心O到直線l的距離d=$\frac{|4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}＜3$，
解得：k＞$\frac{\sqrt{7}}{3}$或k＜-$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
且四邊形OAMB為菱形，則OM與AB互相垂直且平分，
∴圓心O到直線l：y=kx+4的距離d=$\frac{1}{2}$|OM|=$\frac{3}{2}$，
即d=$\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{3}{2}$，整理得：k²=8，
解得：k=±$\frac{\sqrt{55}}{3}$，經(jīng)驗證滿足條件，
∴存在點M，使得△OAM與△OBM都為等邊三角形，此時直線l的斜率$±\frac{\sqrt{55}}{3}$．

點評 本題考查了直線與圓相交的性質，直線與圓的位置關系，以及圓的標準方程，涉及的知識有：點到直線的距離公式，兩直線的交點問題，菱形的性質，以及兩直線垂直時斜率滿足的關系，是中檔題．