13.已知拋物線C:y2=8x,過點(diǎn)(0,-2)且斜率為k的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(Ⅰ)求拋物線C的準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(Ⅲ)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,求AB的長度.

分析 (Ⅰ)由拋物線C的方程y2=8x,得p=4,即可求拋物線C的準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)直線l方程與拋物線C的方程聯(lián)立,分類討論求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(Ⅲ)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,求出k,利用弦長公式求AB的長度.

解答 解:(Ⅰ)由拋物線C的方程y2=8x,得p=4,
所以拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-2-------------------(3分)
(Ⅱ)直線l方程與拋物線C的方程聯(lián)立,得方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx-2\\{y^2}=8x\end{array}\right.$-------------------(1分)
消y,整理得k2x2-(4k+8)x+4=0,①-------------------(2分)
由直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,則有△=(4k+8)2-16k2>0-------------------(1分)
解得k>-1
當(dāng)k=0時,直線l與拋物線C只有一個交點(diǎn),所以k的取值范圍是k>-1且k≠0------------------(1分)
(Ⅲ)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由(Ⅱ)中的①式得${x_1}+{x_2}=\frac{4k+8}{k^2}=4$,-------------------(2分)
解得k=2或k=-1(舍)-------------------(1分)
$|AB|=\sqrt{(1+{k^2})[{{({x_1}+{x_2})}^2}-4{x_1}{x_2}]}=2\sqrt{15}$-------------------(2分)

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì),考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查弦長的計算,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求f(x)的最大值,并寫出使f(x)取得最大值時x的集合;
(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)已知△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f(B+C)=$\frac{3}{2}$,b+c=2,求a的最小值.

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4.已知函數(shù)f(x)=$\frac{a}{3}$x3-$\frac{1}{2}$btx2+c(t2-1)x+t(t≠0).
(1)當(dāng)a=c=1,b=2時,若f(x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào),求t的取值范圍;
(2)若g(x)=f′(x)+b(t+1)x-c(t2-2),且當(dāng)|x|≤1時|g(x)|≤1,求證:當(dāng)|x|≤k<1時,|g(x)|≤1+k-k2

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1.若a∈R,則“1<a<2”是“a2-3a≤0”的( 。
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
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8.設(shè)實(shí)數(shù)$α∈\left\{{-2,-1,\frac{1}{2},1,3}\right\}$,如果函數(shù)y=xα是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),則α的值的集合為{1,3}.

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18.函數(shù)$f(x)=2{sin^2}ωx+\sqrt{3}sin2ωx$(ω>0)的一條對稱軸為直線$x=\frac{π}{8}$,則f(x)的最小正周期為$\frac{π}{4k+\frac{8}{3}}$,k∈Z,k≥0.

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5.某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會實(shí)踐,對[20,50]歲的臨汾市“低頭族”(低頭族電子產(chǎn)品而忽視人際交往的人群)人群隨是因使用機(jī)抽取1000人進(jìn)行了一次調(diào)查,得到如下頻數(shù)分布表:
年齡段分組[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]
頻數(shù)3003201601604020
(1)在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;
(2)估計[20,50]年齡段的“低頭族”的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(3)從年齡段在[25,35)的“低頭族”中采用分層抽樣法抽取6人接受采訪,并從6人中隨機(jī)選取2人作為嘉賓代表,求選取的2名嘉賓代表中恰有1人年齡在[25,30)歲的概率.

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2.準(zhǔn)線為x=-2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( 。
A.y2=-8xB.y2=8xC.x2=8yD.x2=-8y

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3.如圖,等邊△ABC的邊長為2,△ADE也是等邊三角形且邊長為1,M為DE的中心,在△ABC所在平面內(nèi),△ADE繞A逆時針旋轉(zhuǎn)一周,$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AM}$的最大值為( 。
A.$\frac{3}{4}$B.$\frac{3}{4}$+$\sqrt{3}$C.$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$D.$\frac{3}{4}$+2$\sqrt{3}$

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