Question

13．已知拋物線C：y²=8x，過(guò)點(diǎn)（0，-2）且斜率為k的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求拋物線C的準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求AB的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線C的方程y²=8x，得p=4，即可求拋物線C的準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）直線l方程與拋物線C的方程聯(lián)立，分類討論求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求出k，利用弦長(zhǎng)公式求AB的長(zhǎng)度．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線C的方程y²=8x，得p=4，
所以拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-2-------------------（3分）
（Ⅱ）直線l方程與拋物線C的方程聯(lián)立，得方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx-2\\{y^2}=8x\end{array}\right.$-------------------（1分）
消y，整理得k²x²-（4k+8）x+4=0，①-------------------（2分）
由直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，則有△=（4k+8）²-16k²＞0-------------------（1分）
解得k＞-1
當(dāng)k=0時(shí)，直線l與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，所以k的取值范圍是k＞-1且k≠0------------------（1分）
（Ⅲ）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（Ⅱ）中的①式得${x_1}+{x_2}=\frac{4k+8}{k^2}=4$，-------------------（2分）
解得k=2或k=-1（舍）-------------------（1分）
$|AB|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=2\sqrt{15}$-------------------（2分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于中檔題．