Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{3}$x³-$\frac{1}{2}$btx²+c（t²-1）x+t（t≠0）．
（1）當(dāng)a=c=1，b=2時(shí)，若f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求t的取值范圍；
（2）若g（x）=f′（x）+b（t+1）x-c（t²-2），且當(dāng)|x|≤1時(shí)|g（x）|≤1，求證：當(dāng)|x|≤k＜1時(shí)，|g（x）|≤1+k-k²．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)g（x），利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=c=1，b=2時(shí)，
f（x）=$\frac{1}{3}$x³-tx²+（t²-1）x+t，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²-2tx+t²-1=[x-（t-1）][x-（t+1）]，
由f′（x）=0得方程的根為x=t+1或x=t-1，
若f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，
則f′（x）=x²-2tx+t²-1=0，在（-1，1）有解，
若t＞0，則t+1＞1，此時(shí)只要滿足-1＜t-1＜1，即0＜t＜2，
若＜0，則t-1＜-1，此時(shí)只要滿足-1＜t+1＜1，即-2＜t＜0，
綜上0＜t＜2或-2＜t＜0；
（2）若g（x）=f′（x）+b（t+1）x-c（t²-2）=x²-btx+c（t²-1）+b（t+1）x-c（t²-2）=ax²+bx+c，
∵|x|≤k＜1，∴0≤k＜1，∴當(dāng)k²≤k，
即k-k²≥0，即1+k-k²≥1，
∵當(dāng)|x|≤1時(shí)，|g（x）|≤1，
∴當(dāng)|x|≤1時(shí)，|g（x）|≤1+k-k²，
∴當(dāng)|x|≤k＜1時(shí)，|g（x）|≤1+k-k²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用絕對(duì)值的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，同時(shí)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．