Question

函數(shù)f（x）=

ln(2x+3)-2x2

x

的圖象在點(diǎn)（-1，2）處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于（　�。�

• A、

  2

  3

• B、

  4

  3

• C、

  1

  2

• D、

  1

  6

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=-1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，即切線(xiàn)的斜率，由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式得切線(xiàn)方程，求出直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距，從而求得切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．

解答：解：∵f（x）=

ln(2x+3)-2x2

x

，
∴f′(x)=

( 2 2x+3 -4x)•x-(ln(2x+3)-2x2)

x2

．
則f′（-1）=-4，即函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（-1，2）處的切線(xiàn)的斜率為-4．
∴切線(xiàn)方程為：y-2=-4（x+1），即4x+y+2=0．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，當(dāng)y=0時(shí)，x=-

1

2

．
∴切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于

1

2

×2×

1

2

=

1

2

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)的切線(xiàn)方程，關(guān)鍵是掌握簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，考查直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程和三角形面積的求法，是中檔題．