【題目】在正四棱錐S﹣ABCD中,O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC的夾角是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
【答案】A
【解析】解:如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)A為x軸,以O(shè)B為y軸,以O(shè)S為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.
設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a,
則A(a,0,0),B(0,a,0),C(﹣a,0,0),P(0,﹣ , ),
則 =(2a,0,0), =(﹣a,﹣ , ), =(a,a,0),
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為 ,
則 , ,
∴ ,可取 =(0,1,1),
∴cos< ,n>= = = ,
∴< ,n>=60°,
∴直線BC與平面PAC的夾角為90°﹣60°=30°.
故選:A.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則),還要掌握用空間向量求直線與平面的夾角(設(shè)直線的方向向量為,平面的法向量為,直線與平面所成的角為,與的夾角為, 則為的余角或的補(bǔ)角的余角.即有:)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地,計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層,每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算,如果將樓房建為x(x≥10)層,則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x(單位:元).
(注:平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用,平均購(gòu)地費(fèi)用= )
(1)寫出樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該樓房應(yīng)建造多少層時(shí),可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少?最少值是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:函數(shù)f(x)=lg(ax2﹣x+ a)的定義域?yàn)镽;命題q:不等式 <1+ax對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立.如果命題p或q為真命題,命題p且q為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐S﹣ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上的任意一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E的平面α垂直于平面SAC.
(1)請(qǐng)作出平面α截四棱錐S﹣ABCD的截面(只需作圖并寫出作法);
(2)當(dāng)SA=AB時(shí),求二面角B﹣SC﹣D的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知F1 , F2是橢圓 (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P(﹣1, )在橢圓上,且 =0,⊙O是以F1F2為直徑的圓,直線l:y=kx+m與⊙O相切,并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng) =λ,且滿足 ≤λ≤ 時(shí),求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=1﹣ ,其中n∈N* .
(1)設(shè)bn= ,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn= ,數(shù)列{cncn+2}的前n項(xiàng)和為Tn , 求證:Tn<3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)= ,則函數(shù)f(x)=g(lnx)﹣ln2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1= ,an+1= ,n∈N* .
(1)求證:數(shù)列{ ﹣1}為等比數(shù)列;
(2)記Sn= + +…+ ,若Sn<100,求滿足條件的最大正整數(shù)n的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈={x|x≠0},且滿足對(duì)于任意x1 , x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;
(3)如果f(4)=1,f(x﹣1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍.
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