Question

【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1= ，an+1= ，n∈N* ．
（1）求證：數(shù)列{ ﹣1}為等比數(shù)列；
（2）記Sn= + +…+ ，若Sn＜100，求滿足條件的最大正整數(shù)n的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1= ，

∴ = + ，

∴ ，

∵a1= ，

∴ ﹣1= ，

∴ 為以 為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列

（2）解：由（1）知 ﹣1= ×（ ）n﹣1，

∴ =2×（ ）n+1，

∴Sn= + +…+ =n+2×（ + +…+ ）=n+2× =n+1﹣ ，

∵Sn＜100，

∴ ，

故nmax=99

【解析】（1）利用數(shù)列遞推式，變形可得得 ，從而可證數(shù)列 為等比數(shù)列；（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用等比數(shù)列的求和公式求和，即可求最大的正整數(shù)n．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí)，掌握等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷，以及對(duì)數(shù)列的前n項(xiàng)和的理解，了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．