Question

3．關(guān)于的不等式ax-b＞0的解集是（1，+∞），則關(guān)于x的不等式$\frac{ax+b}{x-2}≤3a-b$的解集用區(qū)間表示為（-∞，2）∪[5，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意和一元一次不等式的解法列出不等式組，求出a、b的關(guān)系和符號，代入分式不等式化簡后等價轉(zhuǎn)化，由一元二次不等式的解法求出答案．

解答 解：由題意知，不等式ax-b＞0的解集是（1，+∞），
則當(dāng)且僅當(dāng)a＞0時，不等式ax-b＞0的解集為$（{\frac{a}\;，\;+∞}）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{a}=1\end{array}\right.$，即b=a＞0，
所以不等式 $\frac{ax+b}{x-2}≤3a-b$可化為 $\frac{x+1}{x-2}≤2$，則$\frac{x+1}{x-2}-2≤0$，
即$\frac{5-x}{x-2}≤0$，即$\frac{x-5}{x-2}≥0$，等價于$\left\{\begin{array}{l}（{x-2}）（{x-5}）≥0\\ x-2≠0\end{array}\right.$，
解得x＜2或x≥5，其解集為 （-∞，2）∪[5，+∞），
故答案為：（-∞，2）∪[5，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查分式不等式的解法及其轉(zhuǎn)化，一元一次、一元二次不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．