Question

15．觀察以下三個不等式：
①（1²+2²+3²）（3²+4²+5²）≥（1×3+2×4+3×5）²；
②（7²+9²+10²）（6²+8²+11²）≥（7×6+9×8+10×11）²；
③（20²+30²+2017²）（99²+90²+2016²）≥（20×99+30×90+2017×2016）²；
若2x+y+z=-7，x，y，z∈R時，則（x+1）²+（y+2）²+（z+1）²的最小值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由題意，[（x+1）²+（y+2）²+（z+1）²]（2²+1²+1²）≥（2x+2+y+2+z+1）²，2x+y+z=-7，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，[（x+1）²+（y+2）²+（z+1）²]（2²+1²+1²）≥（2x+2+y+2+z+1）²，2x+y+z=-7，
∴（x+1）²+（y+2）²+（z+1）²≥$\frac{2}{3}$，
∴（x+1）²+（y+2）²+（z+1）²的最小值為$\frac{2}{3}$，
故答案為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了歸納推理，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．