Question

15．已知函數f（x）=xcosx-（a+1）sinx，x∈[0，π]，其中$\frac{3π}{4}≤α≤\frac{{2\sqrt{3}π}}{3}$．
（1）證明：當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，f（x）≤0；
（2）判斷f（x）的極值點個數，并說明理由；
（3）記f（x）最小值為h（a），求函數h（a）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=-xsinx-acosx，當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f′（x）＜0，由此能證明當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，f（x）≤f（0）=0成立．
（2）設p（x）=f′（x），則p′（x）=-xcosx+（a-1）sinx，由導數性質得p（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上單調遞增，從而f′（x）在[0，π]上存在唯一零點β，由此推導出當x∈[0，π]時，f（x）有唯一極值點β，且β為極小值點．
（3）當x∈[0，π]時，h（a）=f（x）_min=f（β），f′（β）=-βsinβ-acosβ，α=-$\frac{βsinβ}{cosβ}$，從而h（a）=$\frac{β}{cosβ}-sinβ$，設q（x）=-$\frac{xsinx}{cosx}$，則${q}^{'}（x）=-\frac{sin2x+2x}{2co{s}^{2}x}$，由此利用構造法及導數性質能求出函數h（a）的值域．

解答 證明：（1）∵f（x）=xcosx-（a+1）sinx，x∈[0，π]，
∴f′（x）=-xsinx-acosx，
∵$\frac{3π}{4}≤α≤\frac{{2\sqrt{3}π}}{3}$，∴當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上是減函數，
∴當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，f（x）≤f（0）=0成立．
解：（2）f（x）有唯一極值點．
理由如下：
設p（x）=f′（x），則p′（x）=-xcosx+（a-1）sinx，
∵a≥$\frac{3π}{4}$＞1，∴當x∈（$\frac{π}{2}$．π）時，p′（x）＞0，
∴p（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上單調遞增，
∵p（x）在[$\frac{π}{2}$，π]上存在唯一零點β，
又由（1）知，當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，p（x）＜0，
∴p（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上無零點，
∴f′（x）在[0，π]上存在唯一零點β，
∴當x∈（0，β）時，f′（x）＜0，當x∈（β，π）時，f′（x）＞0．
∴當x∈[0，π]時，f（x）有唯一極值點β，且β為極小值點．
（3）由（2）知，當x∈[0，π]時，h（a）=f（x）_min=f（β），
f′（β）=-βsinβ-acosβ，
∵β∈（$\frac{π}{2}，π$），∴cosβ＜0，∴α=-$\frac{βsinβ}{cosβ}$，
∴h（a）=f（β）=βcosβ-（a+1）sinβ=βcosβ+$\frac{βsi{n}^{2}β}{cosβ}-sinβ=\frac{β}{cosβ}-sinβ$，
設q（x）=-$\frac{xsinx}{cosx}$，則${q}^{'}（x）=-\frac{sin2x+2x}{2co{s}^{2}x}$，
當x∈（$\frac{π}{2}$，π）時，sin2x+2x＞-1+π＞0，∴q′（x）＜0，即q（x）在（$\frac{π}{2}，π$）單調遞減，
又∵$\frac{3π}{4}≤a≤\frac{2\sqrt{3}π}{2}$時，$\frac{2π}{3}≤β≤\frac{3π}{4}$．
∴對于每一個α∈[$\frac{3π}{4}，\frac{2\sqrt{3}π}{3}$]，均存在唯一的β∈[$\frac{2π}{3}，\frac{3π}{4}$]與之相對應，
反之亦然，
設φ（x）=$\frac{x}{cosx}-sinx$，x∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]，
則φ′（x）=$\frac{cosx+xsinx}{co{s}^{2}x}$-cosx=$\frac{（1-co{s}^{2}x）+xsinx}{co{s}^{2}x}$=$\frac{（sin2x+2x）six}{2co{s}^{2}x}$＞0，
φ（x）在[$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上單調遞增，
∴當$\frac{3π}{4}≤α≤\frac{2\sqrt{3}π}{3}$時，f（β）_min=φ（$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{4π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（β）_maxφ（$\frac{3π}{4}$）=-$\frac{3\sqrt{2}π}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴函數h（a）的值域為[$-\frac{4π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3\sqrt{2}π}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點評 本題考查導數及其應用等基礎知識，考查考查推理論證能力、運算求解能力、抽象概括能力，考查轉化化歸思想、分類討論思想、函數與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．