Question

17．設(shè)S=$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{{{{2015}^2}}}+\frac{1}{{{{2016}^2}}}}$，則不大于S的最大整數(shù)[S]等于（　�。�

• A． 2013
• B． 2014
• C． 2015
• D． 2016

Answer 1

分析 a_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，“裂項(xiàng)法”即可求得S═1+1-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+1+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=2016-$\frac{1}{2016}$，即可求得不大于S的最大整數(shù)[S]．

解答 解：$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
S=$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{{{{2015}^2}}}+\frac{1}{{{{2016}^2}}}}$，
=1+1-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+1+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$，
=2016-$\frac{1}{2016}$，
∴不大于S的最大整數(shù)[S]是2015，
故答案選：C．

點(diǎn)評 本題考查求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法，考查“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．