Question

7．在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2．
（1）若F為PC的中點(diǎn)，求證：PC⊥平面AEF；
（2）求點(diǎn)F到平面ACE的距離．

Answer 1

分析 （1）欲證PC⊥平面AEF，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證PC與平面AEF內(nèi)兩相交直線垂直，而AF⊥PC，EF⊥PC，AF∩EF=F，滿足定理的條件；
（2）利用V_E-ACF=V_F-ACE，即可求點(diǎn)F到平面ACE的距離．

解答 （1）證明：∵PA=CA，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E為PD中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，∴EF∥CD．則EF⊥PC．
∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．
（2）解：在△ACE中，AE=EC=$\sqrt{5}$，AC=2，∴S_△ACE=2．
V_E-ACF=$\frac{1}{3}{S}_{△ACF}•EF$=$\frac{1}{3}•1•\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵V_E-ACF=V_F-ACE，
∴$\frac{1}{3}•2•d$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
即點(diǎn)F到平面ACE的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及點(diǎn)F到平面ACE的距離，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．