Question

13．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上異于A、B的點．
PA=AB，∠BAC=60°，點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）當D為PB的中點時，求AD與平面PBC所成的角的正弦值；
（3）是否存在點E使得二面角A-DE-P為直二面角？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導出PA⊥BC，AC⊥BC，由此能證明BC⊥平面PAC．
（2）過A作AH⊥PC于H，則∠ADH為AD與面PBC所成角，由此能求出AD與平面PBC所成的角的正弦值．
（3）推導出DE⊥平面PAC，∠AEP為二面角A-DE-P的平面角，由此能求出存在點E使得二面角A-DE-P為直二面角．

解答 證明：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC，
又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC，
又PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
解：（2）過A作AH⊥PC于H，
∵BC⊥平面PAC，BC?面PBC，∴面PBC⊥面PAC，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠ADH為AD與面PBC所成角，
依題意，設PA=AB=2，則AD=$\frac{1}{2}$PB=$\sqrt{2}$，AC=1，
在Rt△PAC中，PA=2，AC=1，則AH=$\frac{PA•AC}{AD}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
在Rt△AHD中，AD=$\sqrt{2}$，AH=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴sin$∠ADH=\frac{AH}{AD}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴AD與平面PBC所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（3）∵DE∥BC，
又由（1）知BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角A-DE-P的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∩PAC=90°，
∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，此時∠AEP=90°，
∴存在點E使得二面角A-DE-P為直二面角．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查使得二面角為直二面角的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．