Question

16．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是單位向量，且夾角為60°，若向量$\overrightarrow{p}$滿足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$-$\overrightarrow{p}$|=$\frac{1}{2}$，則|$\overrightarrow{p}$|的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{p}$=（x，y），可得（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，故向量$\overrightarrow{p}$的終點(diǎn)在以C（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）為圓心，半徑等于$\frac{1}{2}$的圓上，由圖象即可得到最大值為|OA|．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是單位向量，且夾角為60°，
設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{p}$=（x，y）
則$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$-$\overrightarrow{p}$=（$\frac{1}{2}$-x，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-y），
∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$-$\overrightarrow{p}$|=$\frac{1}{2}$，即（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
故向量$\overrightarrow{p}$的終點(diǎn)在以C（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）為圓心，半徑等于$\frac{1}{2}$的圓上，
∴|$\overrightarrow{p}$|的最大值為|OA|=|OC|+r=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，熟練掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算和圓的方程及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．